Trong chương trình toán học THPT, lý thuyết về góc giữa 2 mặt phẳng cũng như đường thẳng được xem là một trong những kiến thức trọng tâm học sinh cần nắm vững. Để giúp các em nắm vững công thức cùng cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng hay góc giữa 2 đường thẳng, bài viết dưới đây của Ngô Thu Hoài sẽ giúp bạn điều đó, cùng tìm hiểu nhé. 

Lý thuyết góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian

  • Cho hai đường thẳng \(\Delta_1,\Delta_2\) cắt nhau tạo thành bốn góc. Góc nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1,\Delta_2\) kí hiệu là \(\left (\Delta_1,\Delta_2 \right )\) 
  • Gọi \(\alpha\) là số đo góc của \(\left (\Delta_1,\Delta_2 \right )\) thì \(0<\alpha\le90^\circ\) (Khi \(\Delta_1\parallel\Delta_2\) hay \(\Delta_1\equiv \Delta_2\) thì quy ước \(\alpha=0^\circ\))

Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng  

Cho hai đường thẳng : 

  • \(\Delta_1: a_1x+b_1y+c_1=0\) (có VTPT \(n_1=\left ( a_1;b_1 \right )\))
  • \(\Delta_2: a_2x+b_2y+c_2=0\) (có VTPT \(n_2=\left ( a_2;b_2 \right )\))

\(\left ( \Delta_1,\Delta_2 \right )=\left\{\begin{matrix} \left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right )\hspace{1.8cm}\text{khi}\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right )\le90^\circ \\ 180^\circ-\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right )\hspace{0.5cm}\text{khi}\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right )>90^\circ \end{matrix}\right.\)

\(\cos{\left (\Delta_1,\Delta_2 \right )}=\cos\left ( \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2} \right )=\frac{\left | \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2} \right |}{\left | \overrightarrow{n_1} \right |.\left | \overrightarrow{n_2} \right |}=\frac{\left | a_1.a_2+b_1.b_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}.\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\)

Chú ý: 

  • \(\Delta_1\perp \Delta_2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\)
  • Cho \(\Delta_1:y=k_1x+m_1,\Delta_2:y=k_2x+m_2\) thì: 
    • \(\Delta_1\parallel\Delta_2\Leftrightarrow k_1=k_2\)
    • \(\Delta_1\bot\Delta_2\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian 

Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Cho a, b bất kỳ 

 

  • Cách 1: Kẻ hai đường thẳng \(a’\) và \(b’\) lần lượt song song với a và b. Khi đó \(\left ( \widehat{a,b }\right )=\left ( \widehat{a^{‘},b^’ }\right )\)

 

góc giữa 2 mặt phẳng và mặt phẳng

  • Cách 2: Chọn một điểm A bất kỳ thuộc a, rồi từ đó kẻ một đường thẳng \(b^’\) qua A và song song với b. Khi đó \(\left ( \widehat{a,b }\right )=\left ( \widehat{a,b^’ }\right )\)

tìm hiểu góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(SA=a\sqrt3,SA\bot BC\). Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.

công thức góc giữa 2 mặt phẳng

Cách giải: 

Ta có \(BC\parallel AD\)

Do đó \(\left ( SD,BC \right )=\left ( SD,AD \right )=\widehat{SDA}\)

Vì \(\left.\begin{matrix} BC\parallel AD\\ SA\bot BC \end{matrix}\right\}\Rightarrow SA\bot AD\Rightarrow\widehat{SAD}=90^\circ\)

Xét \(\bigtriangleup SAD\) vuông tại A ta có: 

\(\tan{\widehat{SDA}}=\frac{SA}{AD}=\sqrt3\Rightarrow\widehat{SDA}=60^\circ\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng \(60^\circ\)

Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng vecto

Tích vô hướng hai vectơ cùng gốc: \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2}\)

Chứng minh: \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left | \overrightarrow{OA} \right |.\left | \overrightarrow{OB} \right |.\cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right )\)

Trong đó: 

  • \(\overrightarrow{OA}=OA\)
  • \(\overrightarrow{OB}=OB\)
  • \(\cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right )=\cos\widehat{AOB}=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2.OA.OB}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2}\) (ĐPCM)

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) ta thực hiện các bước sau: 

  • Tìm giao điểm \(O=a\cap\left ( \alpha \right )\)
  • Dựng hình chiếu \(A^’\) của một điểm \(A\in a\) xuống \(\left ( \alpha \right )\). Để dựng được hình chiếu \(A^’\) của điểm A trên \(\left ( \alpha \right )\) ta chọn một đường thẳng \(b\bot\left ( \alpha \right )\). Khi đó \(AA^{‘}\parallel b\)
  • Góc \(\widehat{AOA^’}=\varphi\) chính là góc giữa đường thẳng a và \(\left ( \alpha \right )\). Để tính góc \(\varphi\) ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\bigtriangleup OAA^’\)

Ngoài ra, nếu không xác định góc \(\varphi\) thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) theo công thức \(\sin\varphi=\frac{\left | \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |\left | \overrightarrow{n} \right |}\) trong đó \(\overrightarrow{u}\) là VTCP của a còn \(\overrightarrow{n}\) là VTPT của \(\left ( \alpha \right )\).

Lý thuyết góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên 2 mặt phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có: 

  • Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng \(0^\circ\)
  • Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng \(0^\circ\)

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Để có thể xác định chính xác góc giữa 2 mặt phẳng bạn áp dụng những cách sau:

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0.

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

  • Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

 

  • Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

 

\(\Rightarrow\) Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

ví dụ góc giữa 2 mặt phẳng

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng 

 

  • Phương pháp 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.

 

Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là ABCD và độ dài các cạnh đáy bằng \(a, SA=SB=SC=SD=a\). Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Cách giải: 

Gọi \(I\) là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều 

Suy ra \(BI\bot SA,DI\bot SA \Rightarrow \left ( \widehat{\left ( SAB \right ),\left ( SAD \right )} \right )=\left ( \widehat{BI,DI} \right )\)

Áp dụng định lý cosin vào tam giác \(BID\) ta được:

\(\cos\left ( \widehat{BID} \right )=\frac{\left ( IB^2+ID^2-BD^2 \right )}{2.IB.ID}=\left ( \frac{\left ( \frac{\sqrt3}{2}a \right )^2+\left ( \frac{\sqrt3}{2}a \right )^2-\left ( a\sqrt2 \right )^2}{2.\frac{\sqrt3}{2}a.\frac{\sqrt3}{2}a} \right )\)

Suy ra góc \(\left ( \widehat{\left ( SAB \right ),\left ( SAD \right )} \right )=\frac{1}{3}\).

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b. Suy ra \(\left ( \widehat{P} \right )=\left ( \widehat{Q} \right )=\left ( \widehat{a,b} \right )\)

cách giải góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA=a\sqrt3\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

bài tập minh họa góc giữa 2 mặt phẳng

Cách giải: 

  • Theo đề bài ta có ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a
  • Dựng đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (SCD)
  • Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông góc với CD tại H. Suy ra, ta có CD vuông góc với mặt phẳng (SAH). 
  • Trong mặt phẳng (SAH) dựng AP vuông góc với SH. Suy ra, ta có CD vuông góc với AP \(\Rightarrow\) AP vuông góc với mặt phẳng (SCD).
  • Tiếp theo, dựng đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC) 
  • Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường AQ vuông góc với SC
  • Vì BC vuông góc với AC, BC vuông góc với SA \(\Rightarrow\) BC vuông góc với mặt phẳng (SAC) \(\Rightarrow\) BC vuông góc với AQ.

Vậy AQ vuông góc với mặt phẳng (SBC)

\(\Rightarrow\) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) chính là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng ấy là AP và AQ.

Ta có: 

\(AH=\sqrt{AD^2-HD^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}\\ \Rightarrow\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AH^2}\Rightarrow AP=\frac{a\sqrt3}{\sqrt5}\)

Ta có tam giác SAC vuông cân tại A 

\(\Rightarrow AQ =\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt6}{2}\)

Mặt khác tam giác APQ vuông tại P 

\(\Rightarrow \cos\left ( \widehat{PAQ} \right )=\frac{AP}{AQ}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow \widehat{PAQ}=\arccos{\left ( \frac{\sqrt{10}}{5} \right )}\)

Bài tập minh họa góc giữa 2 đường thẳng, mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, \(SB=a\sqrt3\) và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

bài tập tổng hợp góc giữa 2 mặt phẳng

Cách giải: 

Gọi H là hình chiếu của S trên AB \(\Rightarrow SH\bot \left ( ABCD \right )\) hay SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có \(SA^2+SB^2=a^2+3a^2=4a^2=AB^2\) nên \(\bigtriangleup SAB\) vuông tại S

\(\Rightarrow SM=\frac{AB}{2}=a\)

Do đó \(\bigtriangleup SAM\) đều cạnh a, nên ta có: \(SH=\frac{a\sqrt3}{2}\) 

Diện tích tứ giác BMDN

\(\begin{align} \nonumber S_{BMDN}&=S_{ABCD}-S_{MAD}-S_{NDC}\\ \nonumber&=ha^2-\frac{1}{2}a.2a-\frac{1}{2}a.2a=2a^2 \end{align}\)

\(V_{S.BMDN}=\frac{1}{3}S_{BMDN}.SH=\frac{1}{3}2a^2\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^3\sqrt3}{3}\)

Kẻ thêm \(MG\parallel ND\) ta có \(ND=\sqrt{\left ( 2a \right )^2+a^2}=a\sqrt5\) và ta có: 

\(MG=\frac{1}{2}ND=\frac{1}{2}a\sqrt5\)

Kẻ thêm SK vuông góc với MG, ta có: MH.MA = MK.MG

\(\Rightarrow MK=\frac{\frac{a}{2}a}{\frac{a\sqrt5}{2}}=\frac{a}{\sqrt5}\Rightarrow \cos{\left ( \widehat{SM,ND} \right )}=\frac{\frac{a}{\sqrt5}}{a}=\frac{1}{\sqrt5}\)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và \(SC =a\sqrt2\). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

  1. Chứng minh \(SH\bot\left ( ABCD \right ),AC\bot \left ( SHK \right )\)
  2. Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD)

Cách giải: 

cách giải góc giữa 2 mặt phẳng

  1. \(SB=BC=a\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\)

Do đó \(\bigtriangleup SBC\) vuông tại B.

\(CB\bot \left ( SAB \right )\Rightarrow CB\bot SH\)

Mặt khác \(SH\bot AB \Rightarrow SH\bot \left ( ABCD \right )\)

Ta có \(HK \parallel BD \Rightarrow HK\bot AC\)

Suy ra \(AC\bot \left ( SHK \right )\)

    2. Gọi \(I=CK\cap HD\Rightarrow\bigtriangleup DIK\sim \bigtriangleup CDK\)

\(\Rightarrow CK\bot \left ( SHD \right )\Rightarrow CK\bot HD\). Góc \(\widehat{CSI}\) là góc giữa SC và (SHD).

\(\bigtriangleup DIK\sim\bigtriangleup DHA\Rightarrow DI=\frac{DA.DK}{DH}=\frac{a}{\sqrt5}\\ SI=\sqrt{SH^2+IH^2}=\frac{a\sqrt6}{\sqrt5}\Rightarrow\cos{\widehat{CSI}}=\frac{SI}{SC}=\frac{\sqrt5}{\sqrt3}\)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a vuông góc với đáy (ABCD) 

  1. Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
  2. Tính cosin góc nhị diện \(\left ( \widehat{SBC,SDC} \right )\)

Cách giải: 

tổng hợp về góc giữa 2 mặt phẳng

  1. Các mặt bên là tam giác vuông 

Ta có: \(SA\bot \left ( ABCD \right )\Rightarrow \left\{\begin{matrix} SA\bot AB\\ SA\bot AD \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Các tam giác SAB, SAD vuông tại A

Ta có: \(\left.\begin{matrix} BC\bot AB\\ BC\bot SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\bot \left ( SAB \right )\Rightarrow BC\bot SB\)

\(\Rightarrow\) Tam giác SCD vuông tại D

    2. Cosin góc nhị diện \(\left ( \widehat{SBC,SDC} \right )\)

Vẽ \(BE\bot SC\). Vì \(\bigtriangleup SBC\) và \(\bigtriangleup SDC\) có các cạnh bằng nhau tương ứng nên \(DE\bot SC\) và BE = DE

Tam giác SBC có: 

\(\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BS^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow BE=\frac{a\sqrt6}{3}\)

Ta có \(\cos{\left ( \widehat{\left ( SBC \right ),\left ( SDC \right )} \right )}=\frac{BE^2+ED^2-BD^2}{2EB.ED}=-\frac{1}{2}\)

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A^{‘}B^{‘}C^{‘}\) có \(AB=1, CC^{‘}=m\left ( m>0 \right )\). Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng \(AB^’\) và \(BC^’\) bằng \(60^\circ\)

Cách giải: 

kiến thức góc giữa 2 mặt phẳng

Kẻ \(BD\parallel AB^{‘}\left ( D\in A^{‘}B^’ \right )\)

\(\Rightarrow\left ( \widehat{AB^{‘},BC^{‘}} \right )=\left ( \widehat{BD,BC^{‘}} \right )=60^\circ\)

\(\Rightarrow\widehat{DBC^{‘}}=60^\circ\) hoặc \(\widehat{DBC^{‘}}=120^\circ\)

Trường hợp 1: Nếu \(\widehat{DBC^{‘}}=60^\circ\)

Vì lăng trụ đều nên \(BB^{‘}\bot \left ( A^{‘}B^{‘}C^{‘} \right )\) 

Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có:

\(BD=BC^{‘}=\sqrt{m^2+1}\) và \(DC^{‘}=\sqrt3\) 

Kết hợp \(\widehat{DBC^{‘}}=60^\circ\) ta suy ra \(\bigtriangleup BDC^’\) đều

Do đó \(m^2+1=3\Leftrightarrow m=\sqrt2\)

Trường hợp 2: \(\widehat{DBC^{‘}}=120^\circ\)

Áp dụng định lý cosin cho \(\bigtriangleup BDC^’\) suy ra m = 0 (loại)

Vậy \(m=\sqrt2\)

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A^{‘}B^{‘}C^’\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi \(C^”\) là trung điểm của \(C^{‘}C\), tính góc giữa hai đường thẳng \(C^{”}B\) và \(A^{‘}B^’\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left ( C^{”}AB \right )\) và (ABC).

Cách giải: 

một số dạng toán về góc giữa 2 mặt phẳng

Vì \(AB\parallel A^{‘}B^’\) nên góc giữa \(BC^”\) và \(A^{‘}B^{‘}\) là góc giữa \(BC^”\) và AB

Dễ thấy \(AC^{”}=BC^”\) nên \(ABC^”\) là tam giác cân. Từ đó \(\widehat{ABC^{”}}<90^\circ\)

Vậy góc giữa AB và \(BC^”\) là \(\widehat{ABC^”}\)

Gọi M là trung điểm của AB thì: \(MB=\frac{a}{2}.BC^{”}=\frac{a\sqrt5}{2},MB\bot MC^{”}\).

Từ đó \(\cos{\widehat{ABC^{”}}}=\frac{MB}{BC^{”}}=\frac{1}{\sqrt5}\)

Cũng từ kết quả trên, ta có:

\(\left ( CMC^{”} \right )\bot AB\) là tam giác vuông tại C

Nên góc giữa mặt phẳng \(\left ( BAC^{”} \right )\) và \(\left ( CAB \right )\) là \(\widehat{CMC^”}\)

Ta có \(\tan{\widehat{CMC^{”}}}=\frac{CC^{”}}{MC}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}\)

Vậy \(\widehat{CMC^{”}}=30^\circ\) hay góc giữa mặt phẳng \(\left ( ABC^” \right )\) và mặt phẳng (ABC) bằng \(30^\circ\)

Bài viết trên đây của Ngô Thu Hoài hi vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về chuyên đề góc giữa 2 mặt phẳng cũng như góc giữa 2 đường thẳng trong không gian. Chúc bạn luôn học tập thật tốt!.